Клименко — воспитанник хабаровской хоккейной школы. Свою профессиональную карьеру он начал в молодежной команде череповецкой «Северстали». А на взрослом уровне спортсмен дебютировал в ХК «Липецк».

Затем игрок сменил ряд клубов ВХЛ, а в 2007 году попал в московский «Спартак», который играл в Суперлиге. С момента основания КХЛ Клименко числился в таких клубах как: «Витязь», «Ак Барс», СКА, магнитогорский «Металлург», «Атлант», «Северсталь» и «Нефтехимик». Причем в составе казанского клуба в 2009 году Глеб стал обладателем первого в истории Кубка Гагарина.

А в сезоне 2010-2011 годах Клименко стал лучшим снайпером плей-офф, тогда он выступал в Магнитогорске и в 20 играх забил 10 шайб и отдал 4 передачи. Всего нападающий провел в КХЛ 324 матча, в которых забил 91 шайбу.

Как сообщают в пресс-службе «Автомобилиста», клуб и хоккеист заключили договор до конца сезона.

«Пока неизвестно, когда Клименко впервые выступит за наш клуб. Напомню, сейчас в Лиге еще перерыв между матчами», — сказала пресс-секретарь ХК «Автомобилист» Евгения Теленная.

С 18 по 21 декабря в Сочи проходит домашний этап Евротура «Кубок Первого канала», поэтому в КХЛ взята пауза. Следующий матч «Автомобилист» сыграет в гостях с магнитогорским «Металлургом».